Mathematik in Naturwissenschaften und Medizin

Illustration Mathematisches Modell

Illustration der Funktion eines mathematischen Modells: Parameterwerte werden in die mathematischen Gleichungen des Modells eingetragen; das Modell errechnet daraus eine Vorhersage

Viele Diskussionen in der Corona-Krise drehen sich um die Anwendung mathematischer Methoden. Statistische Auswertungen, mathematische Modelle der Krankheitsausbreitung und ihrer Auswirkungen auf die Auslastung des Gesundheitssystems sind zentrale Elemente des Krisenmanagements und der Information der Öffentlichkeit.

Mathematik ist von zentraler Bedeutung für praktisch alle Wissenschaften, die quantitative Aussagen machen – also die empirischen Wissenschaften wie Naturwissenschaften, Medizin, Wirtschaftswissenschaften etc. Der große Vorteil der Mathematik ist, dass die Richtigkeit ihrer Gesetze von irgendwelchen Beobachtungen unabhängig ist. Innerhalb der Mathematik kann man die Richtigkeit mathematischer Zusammenhänge logisch streng und allgemein beweisen.

In den empirischen Wissenschaften jedoch stehen Beobachtungen und Messungen an erster Stelle. Mathematik wird benutzt, um die Beobachtungen genauer erfassen und quantitativ beschreiben zu können. Man misst zum Beispiel die Zeit, die ein Stein braucht, um aus unterschiedlichen Höhen auf den Boden zu fallen. Und dann sucht man aus der großen Menge mathematischer Funktionen diejenige heraus, die die Beobachtung am besten beschreibt – in diesem Beispiel eine Parabel. Mit der mathematischen Funktion kann man dann Fallzeiten aus Höhen vorhersagen, für die gar keine Messungen vorliegen.

Die Richtigkeit dieser Berechnungen hängt davon ab, ob die mathematische Funktion die Wirklichkeit richtig beschreibt. Wenn man den Stein aus immer größerer Höhe fallen lässt, zeigen sich deutliche Abweichungen von der Parabelgleichung (in diesem Fall aufgrund der Luftreibung, die bei größeren Fallhöhen eine immer wichtigere Rolle spielt). Oder etwas anders ausgedrückt: das mathematische Modell des Steinfalls aus niedrigen Höhen ergibt falsche Vorhersagen für große Fallhöhen. Um die Vorhersagegenauigkeit zu erhöhen, müssen Reibungskräfte in der Formel berücksichtigt werden.

Diese grundsätzliche Beschränkung der Richtigkeit mathematischer Modelle gilt auch für die Corona-Krise. Vorhersagen können nur so gut sein, wie die mathematischen Formeln die wirklichen Zusammenhänge beschreiben. Zudem müssen alle Einflussfaktoren im Modell berücksichtigt werden, die Einfluss auf die Vorhersagen des Modells haben (ohne Berücksichtigung der Reibung macht dass Fallgesetz für Steine falsche Vorhersagen). Und bei Corona gibt es viele Einflussfaktoren (zum Glück nicht ganz so viele wie beim mathematischen Modell der Wettervorhersage oder der Algorithmen zur Vorhersage von Aktienkursen…).

Eine weitere Voraussetzung, dass Modelle richtige Vorhersagen machen können, sind korrekte Parameterwerte. Jedes Modell hat solche Parameter. Beim freien Fall ist dies die Beschleunigung des Steins durch die Erdanziehungskraft, bei der Reibung der Reibungskoeffizient: Eine Feder fällt langsamer als ein Stein, weil ihr Reibungskoeffizient viel größer ist. Bei Corona-Vorhersagen müssen die Werte von Parametern wie Ansteckungswahrscheinlichkeit, Altersstruktur, Mortalitäts- und Letalitätsrate etc. bekannt sein, um verlässliche Vorhersagen machen zu können. Je komplexer ein Modell ist, desto mehr Parameter beeinflussen die Vorhersage des Modells. Und desto wichtiger ist die Richtigkeit der Parameterwerte. Wenn dies nicht gewährleistet ist, gilt analog auch hier der Spruch über Statistik: Trau keinem Modell, das Du nicht selbst gefälscht hast…

Fazit:

Mathematische Modelle können helfen, die grundsätzlichen Mechanismen einer Pandemie zu verstehen, wenn alle Einflussgrößen und ihre Parameterwerte bekannt sind. Leider ist dies in der Realität fast nie der Fall, so dass Modellvorhersagen die Wirklichkeit nur eingeschränkt widerspiegeln. Vorhersagen zum Pandemieverlauf sind immer mit erheblicher Vorsicht zu betrachten.

Noch eine Bemerkung zum Schluss: Es ist bedeutend einfacher, korrekte Modelle im Nachhinein aufzustellen, wenn die Pandemie vorbei ist. Wie sagte schon Einstein sinngemäß: Voraussagen sind schwierig, insbesondere wenn sie die Zukunft betreffen…

Posted by Günther Schmelzeisen-Redeker